1. 窗口移动平滑

窗口移动平滑是指预设一个长度为$n$的窗口，在曲线上进行移动。对于每个窗口位置处的中心点数值，使用该窗口内所有位置的算术平均值代替。

可以用一维卷积实现窗口移动平滑，其中步长为$1$，卷积核为$\frac{1}{n}$：

import numpy as np
y = np.convolve(x, np.ones((n,))/n, mode='same')
# mode指定填充格式，可选full, same, valid

2. Savitzky-Golay平滑

Savitzky-Golay滤波也是一种基于移动窗口的加权平均滤波算法，但其加权系数不是常数，而是通过在滑动窗口内对指定高阶多项式的最小二乘拟合得到的。

SG滤波预设窗口的宽度为$2m+1$（宽度为奇数），对于其中的测量点$[-m,-m+1,…,0,…,m]$构造$k-1$次多项式进行拟合：

\[y=w_0+w_1x+w_2x^2+ \cdots w_{k-1}x^{k-1}\]

因此在每个窗口构造$2m+1$个$k$元方程组，为使方程组有解应有$2m+1\geq k$。通过最小二乘法可拟合方程组的系数，并进一步获得$x=0$处的滤波结果$w_0$。

scipy中提供了Savitzky-Golay滤波方法：

import scipy.signal
y = scipy.signal.savgol_filter(x, window_length, polyorder)

window_length：窗口长度，应取正奇数。窗口长度越小，曲线越还原真实曲线；窗口长度越大，平滑效果越明显。
polyorder：多项式阶数，应小于窗口长度。多项式阶数越大，曲线越还原真实曲线；多项式阶数越小，平滑效果越明显。当多项式阶数过大时，拟合结果会变成直线。

3. 指数移动平滑

指数移动平滑是tensorboard中使用的曲线平滑方法，即使用指数移动平均的形式更新初始点到当前点的加权累计值：

\[\hat{y}_i = \beta \hat{y}_{i-1} + (1-\beta) y_{i}\]

def smooth(data, weight=0.8):
    last = data[0]
    res= []
    for point in data:
        smoothed_val = last * weight + (1 - weight) * point
        res.append(smoothed_val)
        last = smoothed_val
    return res