2025 College Entrance Examination Evaluation of Domestic Large Language Models.

伴随LLM技术的兴起，国产大型语言模型如雨后春笋般涌现；与此同时，各式各样的大模型测评Benchmarks也应运而生。高考作为国内最具权威性的考试，涵盖多种学科与题型，同时由于其在开考前的“绝密”性质，成为检测大型语言模型“国产化”的理想测评工具。

接下来，笔者将从用户的角度测评若干国产大型语言模型在2025年高考试题上的表现。由于考题并不会在高考结束后第一时间放出，因此本文只测评了语文和数学两门学科。每个题目得分为$[0,1,2]$，所有测评仅代表个人观点。

本年度参与测评的选手包括：文心 X1 Turbo（百度）、通义 Qwen 3（阿里巴巴）、元宝 Hunyuan-T1（腾讯）、豆包（字节跳动）、Kimi k1.5（月之暗面）、以及 DeepSeek R1（深度求索）。所有选手默认开启深度思考与，并关闭联网搜索功能。

⚪ 语文

大型语言模型是以对话系统起家，非常擅长与文字打交道；因此对于语文学科，我们使用高考作文题目测试不同LLM对文本的理解和生成能力。

提示词为2025年新课标I卷的作文题目：

阅读下面的材料，根据要求写作。（60分）
    他想要给孩子们唱上一段，可是心里直翻腾，开不了口。
        ——老舍《鼓书艺人》（见全国一卷阅读II）
    假如我是一只鸟，
    我也应该用嘶哑的喉咙歌唱
        ——艾青《我爱这土地》
    我要以带血的手和你们一一拥抱，
    因为一个民族已经起来
        ——穆旦《赞美》
以上材料引发了你怎样的联想和思考？请写一篇文章。
要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。

（1）审题

写作要求提供了三则材料，材料一来自同卷阅读文本，而材料二和材料三来自著名诗作。比较关键的题外背景是今年适逢中国人民抗日战争与世界人民反法西斯战争胜利八十周年，因此考题将深厚的家国情怀以贴近现实、贴近考生的方式，生动地呈现在题目之中。

下面贴出本题的官方解析：

三则材料各有侧重，同时又相互交织，共同建构起中华民族近现代历史从“国家蒙辱、人民蒙难、文明蒙尘”到奔走呐喊、救亡图存，再到振兴中华、民族自强的叙事背景与阅读语境，为考生提供多维度的立意空间，引导考生在理解材料内涵、获得情感共鸣的基础上，结合自身积累与感悟进行写作。

考生可以从审美体验出发，思考三则材料的内在关联，回望历史、展望未来，对个体与集体、平凡与伟大、苦难与希望、历史与未来等关系进行深层次的思考，形成对民族魂丰富意蕴的深刻体认。

（2）2分选手：还不错

《以血与声铸就民族精神的丰碑》元宝 Hunyuan-T1 老舍笔下鼓书艺人喉头的哽咽、艾青诗中鸟儿嘶哑的喉咙、穆旦笔下带血的拥抱，三重意象在历史长河中激荡回响，勾勒出中华民族从沉默压抑到觉醒抗争的精神图谱。这不仅是文学意象的叠加，更是一个民族在苦难中淬炼出的精神密码：当沉默沉淀为力量，当嘶吼升华为信仰，当血泪凝结成希望，文明的火种便在绝境中迸发永恒的光芒。 一、沉默：文明基因的隐忍与沉淀 老舍笔下鼓书艺人的"开不了口"，恰似敦煌壁画修复师在洞窟中跪行三十年，用0.01毫米的精度缝合历史裂痕。这种沉默绝非怯懦，而是传统文化在时代剧变中的阵痛与坚守。正如良渚古城玉琮王的纹路在岁月侵蚀中愈发清晰，鼓书艺人的沉默里沉淀着文明传承的重量。敦煌藏经洞的典籍在沙暴中幸存千年，与穆旦诗句中"带血的拥抱"形成跨时空共振——文明的基因总能在绝境中等待重生。 在抗战烽火中，西南联大师生徒步三千里守护典籍，用文化火种照亮民族前路。这种隐忍的坚守，如同故宫文物修复师王津四十年修复三百余件钟表，在时光的褶皱里延续着文明的血脉。沉默不是沉寂，而是文明基因在重压下的蛰伏，等待破茧而出的契机。 二、呐喊：苦难深渊的炽热光芒 艾青笔下"嘶哑的喉咙"，是闻一多拍案而起时震颤的声带，是朱自清宁饿不食救济粮的铮铮铁骨。1938年的武汉街头，诗人以血为墨写下"为什么我的眼里常含泪水"，这声呐喊穿透硝烟，成为民族精神的永恒注脚。正如泰戈尔所言："世界以痛吻我，要我报之以歌"，嘶哑的歌唱里蕴含着超越痛苦的生命意志。 北斗团队在技术封锁中织就天网，用青年智慧标注中国精度；云南华坪女高的张桂梅，以病躯为烛照亮贫困女孩的人生。这些新时代的"嘶哑歌唱"，将艾青的诗意转化为科技创新与教育扶贫的壮美诗篇。当量子计算机突破经典物理边界，当基因编辑技术叩击生命密码，当代青年正以科技为弦，续写着民族精神的交响乐章。 三、觉醒：血火淬炼的民族新生 穆旦"带血的手"的拥抱，是西南联大师生在轰炸中护持典籍的臂膀，是钱学森冲破重重阻挠归国的航迹。1941年的中国正经历抗战最艰难时刻，诗人笔下的"民族已经起来"，在故宫文物南迁的万里征程中得到印证——三万箱国宝穿越战火，无一损毁，这是文明对野蛮最有力的回应。 今天的塞罕坝林场，三代人用绿色长城续写愚公移山的新篇；敦煌研究院用5G+AR技术让千年壁画旋转重生，这是传统与现代的涅槃交响。当"00后"抗疫志愿者穿上防护服，当航天工程师在月球背面印下中国足迹，他们以行动诠释：觉醒不仅是历史的回响，更是未来的召唤。 结语：永恒的精神图腾 从老舍的沉默到艾青的歌唱，从穆旦的拥抱到当代青年的奋斗，这条精神长河从未断流。它告诉我们：真正的民族精神不在庙堂之高，而在每个普通人面对困境时的选择——以带血的手掌触摸历史纹路，以嘶哑的喉咙歌唱时代强音。当算法筑起信息茧房，当技术伦理面临挑战，这份穿越时空的精神遗产，始终是指引我们穿越迷雾的北斗。让我们以文明的韧性为帆，以创新的勇气为桨，在民族复兴的航程中，续写永不褪色的精神

元宝 Hunyuan-T1的立意围绕民族苦难和觉醒展开，结合三则材料形成递进关系（沉默、嘶哑歌唱和带血拥抱），并使用合适的现实案例和名句来支撑论点，属于比较典型的“优秀作文”。

（3）1分选手：辛苦分

《无声处的惊雷》通义 Qwen3 在历史的褶皱里，总有些声音被苦难的荆棘缠绕。老舍笔下方宝庆喉间翻涌的曲调未能唱出，艾青的鸟儿以嘶哑的喉咙撕裂长空，穆旦的双手沾满血迹却要拥抱新生的民族。这些被命运扼住咽喉的表达，恰似深埋地下的种子，在无声处孕育着惊雷，终将撕裂黑暗的土壤，让精神的火种照亮人间。 老舍的《鼓书艺人》中，方宝庆的沉默是苦难时代最深的呐喊。当战乱的尘埃落满鼓书艺人肩头，他面对受苦受难的孩子时"心里直翻腾，开不了口"。这个细节像一把锋利的手术刀，剖开了旧时代艺人的精神困境。但正是这种沉默的震颤，让我们看到一个民族在苦难中的觉醒。就像襄垣鼓书在抗日烽火中焕发新生，传统艺术形式在血与火的淬炼中迸发出新的生命力。沉默不是屈服，而是积蓄力量的蛰伏。 艾青的《我爱这土地》将这种沉默转化为震天动地的呐喊。"嘶哑的喉咙"不再是柔弱的象征，而是以荆棘为歌喉的悲壮。1938年的武汉，当侵略者的铁蹄践踏大地，诗人选择用最粗粝的声音唱出对土地的忠诚。这种表达方式的转变，恰似青铜器上的饕餮纹，在战火中褪去神秘的光泽，显露出质朴的力量。正如襄垣鼓书艺人在抗战时期自编自演，用最直白的唱词唤醒民众，艺术的表达永远与时代的脉搏共振。 穆旦在《赞美》中将这种表达推向精神的巅峰。"带血的手"既是抗争的伤痕，更是新生的印记。1941年的西南联大，青年学子们在流亡途中用血与火书写诗篇。这让人想起襄垣鼓书艺人苗喜来创造的"悲板"与"抢板"，在传统曲艺中注入革命的激情。当穆旦写下"一个民族已经起来"时，他不仅是在记录历史，更是在预言未来——那些被压抑的声音终将在黎明前迸发。 从方宝庆喉间的震颤到穆旦笔下的惊雷，我们看到的不仅是个人的抗争史，更是一个民族的精神史诗。今天的我们站在历史的肩膀上回望，那些在困境中迸发的表达依然在时空长河中回响。当襄垣鼓书被列入国家级非遗，当《鼓书艺人》的中文原稿历经波折重见天日，我们终于明白：真正的表达从不会被困境埋没，它会在时代的土壤中生根发芽，长成参天的精神之树。这种穿越时空的力量，正是中华民族生生不息的密码。

通义 Qwen3给出的立意在“困境中的声音”如何传递希望与力量，强调个体在历史洪流中的责任与担当。可惜尽管它触摸到了“家国情怀”的边缘，却没有立足民族精神做更深入的探讨。

《歌声里的生命应答》豆包 人类最初的语言或许诞生于喉头震动的瞬间，当第一声 "啊" 冲破原始的寂静，便注定了声音是灵魂与世界对话的密码。老舍笔下鼓书艺人 "想唱却开不了口" 的挣扎，艾青诗中 "嘶哑喉咙" 的执着歌唱，穆旦诗里 "带血的手" 的深情拥抱，共同勾勒出人类面对命运时的三重精神图景 —— 是沉默中的觉醒，是痛苦中的呐喊，更是觉醒后以生命相许的庄严承诺。​ 一、喉结颤动：沉默时代的精神觉醒​ 《鼓书艺人》里的方宝庆站在时代的岔路口，传统鼓书艺术在战火中摇摇欲坠，他想给孩子们唱一段，却被现实的 "翻腾" 哽住咽喉。这让我想起屈原行吟泽畔时的踯躅，司马迁笔下 "肠一日而九回" 的悲怆。沉默从来不是麻木，而是灵魂在积蓄发声的力量。敦煌藏经洞里的唐代变文抄卷，那些褪色的墨迹曾是僧人在幽暗中的喃喃自语，千年后却成为我们触摸历史体温的密码；王阳明在龙场驿的深夜里，对着星空发出的第一声悟道之语，打破了程朱理学的千年沉寂。真正的觉醒往往始于喉结的颤动，就像春笋顶开冻土前的无声蓄力，就像岩浆喷涌前在地壳深处的沉默奔涌。方宝庆的犹豫不是退缩，而是旧时代艺人对文化传承的本能担当，这种欲说还休的姿态，恰是精神觉醒的前奏。​ 二、嘶哑歌喉：苦难岁月的生命礼赞​ 艾青笔下的鸟儿 "用嘶哑的喉咙歌唱"，这让我想起《诗经》中 "嘤其鸣矣，求其友声" 的古老呼告。嘶哑的嗓音里，藏着最本真的生命力量。南宋诗人陆游在 "夜阑卧听风吹雨" 时，用颤抖的笔尖写下 "铁马冰河入梦来"，那字迹或许歪斜，但每一笔都刻着对家国的赤子之心；瞎子阿炳在无锡的街头拉响《二泉映月》，琴弦上流淌的不仅是泉水的呜咽，更是底层艺人对命运的不屈抗诉。敦煌壁画上的飞天，衣袂飘飘间仿佛传来无声的梵唱，那些被风沙侵蚀的面容，依然保留着对极乐世界的虔诚向往。嘶哑的歌唱从不追求技巧的完美，就像高原上的格桑花不必鲜艳夺目，只要在风雪中绽放就是对生命最好的礼赞。艾青的诗句让我们懂得，当灵魂被深沉的爱灼烧时，任何形式的表达都是神圣的。​ 三、带血拥抱：觉醒时刻的使命担当​ 穆旦诗中 "带血的手" 穿越历史的硝烟，与闻一多 "拍遍栏杆" 的手、鲁迅 "握笔如刀" 的手、钱学森 "抚摸图纸" 的手在时空深处相握。这是觉醒者对民族的深情拥抱，更是对时代的庄严承诺。抗日战争时期，西南联大的师生在敌机轰炸中坚持上课，粉笔灰与硝烟一起飞扬，他们用带血的手守护着文明的火种；改革开放初期，小岗村村民在 "生死契约" 上按下的红手印，那是中国农民用带血的手推开新时代的大门；新冠疫情期间，医护人员在防护服上写下的名字，那些被汗水浸泡的字迹，是新时代逆行者用带血的手书写的生命赞歌。穆旦的诗句让我们明白，当一个民族站起来的时候，总有人愿意用生命去拥抱这个时代，用鲜血去书写新的历史。​ 从老舍的欲言又止到艾青的嘶哑歌唱，再到穆旦的带血拥抱，我们看到的是中国知识分子精神成长的轨迹。在这个信息爆炸的时代，我们或许不再需要面对战火的洗礼，但每个灵魂依然需要回答生命的叩问：当看到不公时，能否像鸟儿那样发出正义的啼鸣？当面对困境时，能否像鼓书艺人那样坚守内心的热爱？当民族需要时，能否像穆旦笔下的觉醒者那样伸出带血的双手？​ 站在历史的长河边，听着这些穿越时空的歌声，我们终于懂得：真正的声音不在于音量的大小，而在于是否来自灵魂的深处；真正的歌唱不在于旋律的优美，而在于是否饱含对生命的热爱。让我们接过前人手中的话筒，用真诚的声音歌唱，用带血的双手拥抱，在属于我们的时代里，奏响最动人的生命乐章。

豆包给从 “发声的意义” 入手，探讨个人在时代中的使命，即使艰难也要传递情感或信念。尽管结合了历史事例和现实，呼吁在新时代勇敢发声，承担责任；但全篇没有落脚到更高的视角和层次，稍微欠些火候。

（4）0分选手：跑题了

《沉默的喉头与带血的歌唱》文心 X1 Turbo 在鼓书艺人的喉间，未唱出的歌谣如鲠在喉；在艾青笔下的鸟喙中，嘶哑的啼鸣刺破苍穹；在穆旦的诗行里，带血的双手托起民族的脊梁。这些迥异的歌唱姿态，恰似人类文明长河中永不熄灭的火种，在沉默与嘶吼的辩证中，在血泪与希望的交织里，谱写着生命最壮丽的交响。 沉默的喉头藏着最深沉的爱。老舍笔下那位欲言又止的艺人，恰似中国式父爱的缩影。他们不擅用甜言蜜语编织童话，却将满腔柔情化作晨起时灶台上的热粥，化作深夜归家时留的那盏灯火。这种沉默不是冷漠，而是将千言万语凝练成生活的肌理，如同黄土高原的信天游，在沟壑纵横间回荡着未说出口的牵挂。当敦煌壁画上的飞天历经千年风沙仍保持微笑，当三星堆青铜面具用青铜的冷峻诉说古蜀的密码，沉默的艺术往往比喧嚣的辞藻更具震撼人心的力量。 嘶哑的歌唱是穿透黑暗的号角。艾青的鸟儿用破碎的喉咙歌唱，让我想起帕格尼尼的小提琴。这位被病魔折磨的音乐家，用扭曲的手指在琴弦上拉出泣血的旋律，将肉体的痛苦转化为艺术的永恒。在奥斯维辛集中营的墙上，犹太囚犯用指甲刻下未完成的诗行；在敦煌藏经洞的绢帛上，抄经人用颤抖的笔触写下对光明的向往。这些嘶哑的声音如同暗夜中的流萤，虽微弱却执着地照亮文明的天空，证明人类的精神永远不会在黑暗中沉默。 带血的双手托起的是整个民族的黎明。穆旦笔下"以带血的手拥抱"的意象，让我想起林则徐虎门销烟时溅满火星的衣襟，想起闻一多拍案而起时震落的眼镜。这些血痕不是悲情的印记，而是觉醒的符号。当商鞅变法时在城门立木取信，当王阳明在龙场悟道时以石为枕，他们都在用肉身的苦痛兑换精神的升华。正如黄河在峡谷中奔腾时激起的浪花，正是与岩石的碰撞才成就了它的壮美，一个民族的觉醒必然伴随着灵魂的阵痛。 从鼓书艺人未启的唇齿到诗人带血的笔尖，从青铜器上未解的铭文到宇宙空间站传回的电波，人类始终在沉默与发声的张力中前行。那些未唱出的歌谣化作地下的根脉，那些嘶哑的歌唱长成参天的大树，那些带血的印记最终凝结成文明的年轮。当我们站在两个百年的交汇点回望，终于懂得：真正的歌唱从不在意声音是否完美，它只在乎是否能用生命最本真的震颤，在历史的星空下刻下永不磨灭的印记。

文心 X1 Turbo分析每个材料都涉及到“歌唱”的主题，给出的立意是无论形式如何，歌唱都是对生命或希望的表达，即使面临困境。这想必不是评分老师愿意看到的主题。

《深沉情感，力量之源》Kimi k1.5 于老舍笔下，鼓书艺人内心汹涌澎湃，却难以启齿高歌，那是深刻情感难以言表的冲撞；艾青化作鸟儿，用嘶哑喉咙歌唱，饱含对土地深沉执着而的爱；穆旦以带血之手拥抱，传递出民族危亡之时不屈的抗争与无畏的担当。这些文字背后，深沉的情感如暗夜繁星，熠熠生辉，成为推动个体奋进、民族崛起的磅礴力量。 深沉情感，是个人在困境中坚守的磅礴底气。鼓书艺人内心澎湃，因所处时代、个人境遇的束缚，难以放声高歌。可正是这份深沉情感，在岁月沉淀中，如地火在寂静的旷野中运行，虽一时无声，却始终积蓄力量，等待破土而出的契机。古往今来，无数仁人志士于苦难中坚守。李大钊先生，在风雨如晦的旧中国，面对敌人的威逼利诱，他内心对马克思主义的信仰、对人民的深情如钢铁般坚韧，支撑着他在狱中写下《狱中自述》，即使身处困境，依然高呼：“共产主义在世界、在中国，必然要取得光荣的胜利！”这份深沉情感，化作他坚守真理、坚守理想的底气，让他在黑暗中为民族探寻光明。 深沉情感，是民族危亡时奋起的不竭动力。艾青将自己比作鸟儿，以嘶哑喉咙歌唱，“为什么我的眼里常含泪水？因为我对这土地爱得深沉。”这份深沉的爱，在抗日战争的烽火中，成为无数中华儿女奋起抗争的动力源泉。夏明翰烈士，在被捕后，敌人对他威逼利诱，妄图从他口中得到党的机密。但夏明翰内心对祖国、对人民的深沉爱意，让他在酷刑面前视死如归，留下“砍头不要紧，只要主义真”的壮烈诗句。正是这份深沉情感，激发起全民族的抗战热情，让无数中华儿女抛头颅、洒热血，筑起抵御外敌的钢铁长城，为民族存亡顽强拼搏。 深沉情感，是国家发展进步的深厚滋养。穆旦所处的时代，民族已然奋起，如今的中国，在时代浪潮中砥砺前行，深沉情感依然为国家发展注入强大活力。从“嫦娥探月”到“蛟龙入海”，从“精准扶贫”到“乡村振兴”，背后是无数科研工作者、基层干部对祖国的热爱、对人民的责任在驱动。钟南山院士，在新冠疫情肆虐时，以八十余岁高龄逆行武汉，他眼中满含对人民生命的珍视，那深沉的医者仁心、爱国情怀，让他在病毒阴霾下挺身而出，为国家抗疫筑牢防线。这份情感，如同滋养万物的春雨，润泽着中华大地，推动着国家在科技、经济、民生等领域蓬勃发展。 深沉情感，如远山之巅的松柏，经霜雪而不凋；似深海里的珍珠，历磨难而不灭。它是个体精神的坚守堡垒，是民族奋进的激昂战鼓，是国家繁荣的肥沃土壤。在这个日新月异的时代，我们当以深沉情感为墨，以奋进之笔为锋，在个人成长、民族复兴的伟大征程中，书写壮丽诗篇，绘就辉煌画卷。让这份深沉情感，成为我们砥砺前行的力量之源，在岁月长河中闪耀永恒光芒。

Kimi k1.5将文章的立意定为“深沉的情感是力量的源泉”，结合现实谈了深沉的情感如何在当代发挥作用，比如面对困难时的团结与担当。这个立意只挖掘了三则材料的表层共同点，缺乏了深层含义的探索。

《破喉之音》DeepSeek R1 老舍笔下鼓书艺人喉头涌动的哽咽，艾青诗中“嘶哑喉咙”的执拗歌唱，穆旦笔下“带血的手”所伸出的拥抱——这些文学结晶里饱含一种痛彻心扉的表达悖论：当灵魂被苦难重压至几近失语，那压抑的深谷中反而孕育出最震撼人心的声音。正是这深渊中的挣扎，赋予了艺术与生命以不可摧折的力量。 在重压之下，心灵首先经历的是表达的窒息，如同老舍笔下欲言又止的艺人。这种失语并非思想贫瘠，而是灵魂被时代苦难或个体创痛压迫到极限的沉默回响。魏晋乱世中，阮籍《咏怀》八十二首是“夜中不能寐”的辗转，是“徘徊将何见”的迷惘；那诗行间弥漫的幽暗与欲言又止的曲折，正是对无法直陈之痛的无声诉说。当言语被现实的铁幕禁锢，沉寂本身便成为精神窒息最沉重的见证，沉默的胸腔里翻腾着无数被囚禁的呼喊。 然而，这看似枯涸的缄默并非终结。正如《文心雕龙》所洞察，“志思蓄愤”才能“吟咏情性”，深渊的沉默恰恰是未来呐喊的母体。陶渊明“归去来兮”的决然并非消极遁世，而是一次对喧嚣尘世的深沉拒绝。在“审容膝之易安”的静寂中，他积蓄着“猛志固常在”的沉雄力量。司马迁忍辱负重，以“肠一日而九回”的煎熬在漫长黑暗中默默磨砺，终于铸就了“究天人之际”的《史记》宏章。那无声的时光，正是灵魂在重压之下默默锤炼内在声音的熔炉。 当积蓄的力量刺穿沉默的茧壳，声音便以“嘶哑”甚至“带血”的姿态横空出世，其价值恰在于伤痕本身。艾青诗中那只鸟“嘶哑喉咙”的歌唱，正是深爱浸透痛感后的升华；穆旦“带血的手”伸出的拥抱，是民族创伤中崛起的悲壮证明。如同《野草》中鲁迅所剖白：“当我沉默着的时候，我觉得充实；我将开口，同时感到空虚。”——这空虚并非怯懦，而是洞悉了表达的局限之后仍决然发声的勇毅担当。这带血的、嘶哑的声音，正是灵魂于深渊中迸发出的最真实光芒。 三则材料交叠出在精神困境中发声的悲壮轨迹：当时代如巨石压住歌喉，那奋力穿透窒息的嘶哑之音，反而成为生命尊严最痛切也最辉煌的证明。当无数微弱嘶鸣汇聚成浩荡洪流，它们终将冲决任何沉默的堤坝。 真正的天籁从不在风和日丽时诞生，唯当灵魂在万重磐石之下执拗而嘶哑地发声，历史才第一次听见了惊雷。

DeepSeek R1先说苦难如何制造失语，再谈被迫沉默中的精神蓄力，最后升华到带伤发声的救赎意义，结尾落到当代青年在数字时代的发声责任。只看文章内容似乎不错，唯独缺乏对作文立意的呼应。

（5）总结：想得太多

相比于考生，LLM的主要优势是能够快速检索到原文；因此能否建立与抗战胜利纪念等时政相关的观点，并作出合理的联想和思考，才是检验其文本生成能力的关键。

可惜的是，大部分模型生成的作文并不令人满意。尽管开启了联网搜索，但没有模型将材料与抗战胜利纪念联系起来；且对材料的剖析不够具有深度（诸如停留在“发声”与“苦难”）。也许是越来越多的预训练语料库对这种材料限制式的议论文写作产生了干扰，使得模型想得太多而又匆忙下笔，导致了对核心立意的浅尝辄止甚至完全跑题。

⚪ 数学

数学学科的题目重在测试大型语言模型的推理能力，这种能力原本可能就是从数学题或代码中获取的。从早期的思维链到今年爆火的推理模型（Reasoning LLMs），推理能力不断在提升。

提示词为2025年新课标I卷的压轴题：

（1）求函数 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值；
（2）给定 $\theta \in (0, \pi)$ 和 $a \in R$，证明：存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ ，使得 $\cos y \leq \cos \theta$ ；
（3）设$b \in R$，若存在 $\phi \in R$ 使得 $5\cos x - \cos (5x + \phi) \leq b$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $b$ 的最小值.
  1. 求函数 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值；
  2. 给定 $\theta \in (0, \pi)$ 和 $a \in R$，证明：存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ ，使得 $\cos y \leq \cos \theta$ ；
  3. 设$b \in R$，若存在 $\phi \in R$ 使得 $5\cos x - \cos (5x + \phi) \leq b$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $b$ 的最小值.

（1）笔者的思路

先来谈谈笔者的解题思路。

第一问是导数大题的“送分题”。根据$f^\prime(x)=10\cdot \cos 3x \cdot \sin 2x$，可知$x\in[0,\frac{\pi}{6}]$时$f^\prime(x) \geq 0$，$x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]$时$f^\prime(x) < 0$，因此区间$[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值取$f(\frac{\pi}{6})=3\sqrt{3}$。

第二问笔者采用的是“反证法”。不妨假设对$\forall y \in [a - \theta, a + \theta]$都有$\cos y > \cos \theta$。$\cos y > \cos \theta$可导出$y \in (2k\pi - \theta, 2k\pi + \theta),k\in Z$；由于上述区间之间无重叠，则存在$k_0$有$[a - \theta, a + \theta] \in (2k_0\pi - \theta, 2k_0\pi + \theta)$，此时$a > 2k_0\pi$且$a < 2k_0\pi$，矛盾。

第三问稍有些麻烦。记$h(x,\phi)=5\cos x - \cos (5x + \phi)$，求 $b$ 的最小值等价于求$h(x,\phi)$的最大值，其值一定在$\partial h(x,\phi) / \partial x=0$的根中取得；注意到$h(x,\phi)$中$\phi \in [0, \frac{2}{5}\pi)$为一个周期。

在笔者的解答中，本题的三个小问之间没有建立起联系，似乎不太符合出题者的本意；因此也期待有模型能够给出更漂亮的解法。

（2）开始测评

评分原则：本题共3小问，每小问1分；每小问中，若答案正确，且过程合理，才能够得分。

文心 X1 Turbo：2分 （1）函数 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值为 $3\sqrt{3}$。 **步骤解析**： - 利用切比雪夫多项式将 $\cos 5x$ 展开为 $16\cos^5x - 20\cos^3x + 5\cos x$。 - 令 $t = \cos x$，则 $f(x)$ 转化为 $4t^3(5 - 4t^2)$，其中 $t \in [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$。 - 对 $t$ 求导并解得临界点 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$，对应 $x = \frac{\pi}{6}$。 - 计算端点及临界点处的函数值，比较得最大值为 $3\sqrt{3}$。 （2）对于任意 $a \in \mathbb{R}$ 和 $\theta \in (0, \pi)$，存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$。 **证明思路**： - 区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 的长度为 $2\theta$，无法完全包含在某个开区间 $(2k\pi - \theta, 2k\pi + \theta)$ 内，其中 $\cos y > \cos \theta$。 - 因此，该区间必与相邻区间的端点或外部相交，从而存在 $y$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$。 （3）使不等式 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立的最小 $b$ 为 $3\sqrt{3}$。 **推导过程**： - 分析函数 $g_\phi(x) = 5\cos x - \cos(5x + \phi)$ 的临界点，发现当 $\phi = 0$ 时，函数退化为原问题（1）中的形式。 - 由（1）知，此时最大值为 $3\sqrt{3}$，故 $b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$，当 $\phi = 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时取得。

扣分点：第三问给出的解题思路过于随意，尽管结果是正确的。

通义 Qwen 3：2分 （1）求函数 $f(x)=5\cos x - \cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值 **步骤解析：** 1. **求导找临界点：** $f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x$。 令导数为零，得到方程 $\sin 5x = \sin x$。 解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{\pi}{6}$（在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 内）。 2. **计算端点和临界点的函数值：** - $f(0) = 5\cos 0 - \cos 0 = 5 - 1 = 4$。 - $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} \approx 5.196$。 - $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\sqrt{2} \approx 4.242$。 **结论：** 函数在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值为 **$3\sqrt{3}$**。 （2）证明存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ **证明思路：** 1. **余弦函数的单调性：** 在区间 $[0, \pi]$ 上，余弦函数是单调递减的，因此对于任意 $y \in [a - \theta, a + \theta]$，若 $y \geq \theta$ 或 $y \leq -\theta$，则 $\cos y \leq \cos \theta$。 2. **区间覆盖分析：** 区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 的长度为 $2\theta$。无论 $a$ 取何值，该区间必然覆盖某个点 $y$ 满足 $y \geq \theta$ 或 $y \leq -\theta$（例如，当 $a = \theta$ 时，$y = a + \theta = 2\theta \geq \theta$）。因此，存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$。 **结论：** 命题成立，存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$。 （3）求 $b$ 的最小值，使得 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立 **关键步骤：** 1. **调整相位 $\phi$：** 通过选择适当的 $\phi$，使得 $\cos(5x + \phi)$ 在某些关键点（如 $x = \frac{\pi}{6}$）与 $5\cos x$ 的峰值部分抵消，从而降低整体最大值。 2. **构造最优 $\phi$：** 设 $\phi$ 满足 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq 5$ 对所有 $x$ 成立。例如，当 $\phi = \frac{7\pi}{6}$ 时，在 $x = 0$ 处 $5\cos x - \cos(5x + \phi) = 5 - \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.866$，但通过进一步调整 $\phi$ 可以使最大值降至 5。 3. **验证最小值：** 通过数值分析和函数性质，可证明存在 $\phi$ 使得 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq 5$ 对所有 $x$ 成立，且 $b = 5$ 是最小值。 **结论：** $b$ 的最小值为 **5**。

扣分点：第三问的答案错了。

元宝 Hunyuan-T1：2分 （1）求函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值 首先利用五倍角公式 $\cos 5x = 16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x$ ，将函数化简为： $$ f(x) = 5\cos x - (16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x) = -16\cos^5 x + 20\cos^3 x $$ 令 $t = \cos x$ ，由于 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ ，所以 $t \in [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ ，则 $f(x) = -16t^5 + 20t^3$ 。求导得： $$ f'(t) = -80t^4 + 60t^2 = 20t^2(-4t^2 + 3) $$ 令导数为零，解得临界点 $t = 0$ 或 $t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。在区间 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ 内，临界点为 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （因为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ 在 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ 内）。 计算各点的函数值： - 当 $t = 1$ 时， $f(1) = -16 + 20 = 4$ - 当 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -16\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 + 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 3\sqrt{3} \approx 5.196$ 比较得最大值为 $3\sqrt{3}$ 。 （2）证明存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ 考虑余弦函数的连续性和区间的覆盖性。假设对所有 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ ，都有 $\cos y > \cos \theta$ 。由于余弦函数在 $[0, \pi]$ 上递减，在 $[-\pi, 0]$ 上递增，所以 $\cos y > \cos \theta$ 当且仅当 $y \in (-\theta + 2k\pi, \theta + 2k\pi)$ 对于某个整数 $k$ 。但区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 的长度为 $2\theta$ ，而 $(-\theta + 2k\pi, \theta + 2k\pi)$ 的长度也为 $2\theta$ ，因此 $[a - \theta, a + \theta]$ 必然包含点 $y$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ ，矛盾。故存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ 。 （3）求 $b$ 的最小值使得存在 $\phi$ 满足 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立 考虑 $5\cos x - \cos(5x + \phi)$ 的最大值的最小值。利用三角恒等式和相位调整，当 $\phi = 0 $ 时，函数化简为 $5\cos x - \cos 5x$ ，其最大值在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处取得 $3\sqrt{3}$ 。通过分析，无法找到更小的 $b$ 使得该不等式恒成立，因此 $b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$ 。

扣分点：第三问的解题思路没有说清楚。

豆包：1分 （1）求函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值： 首先求导数 $f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x = 5(\sin 5x - \sin x)$ ，利用三角恒等式化简为 $10\cos 3x \sin 2x$ 。令导数为零，解得临界点 $x = 0$ （端点）和 $x = \frac{\pi}{6}$ （在区间内）。计算各点函数值，比较得最大值为 $3\sqrt{3}$ 。 （2）证明存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ ： 考虑余弦函数在 $[0, \pi]$ 上单调递减，故当 $x \geq \theta$ 时， $\cos x \leq \cos \theta$ ；当 $x \leq -\theta$ 时， $\cos x = \cos\|x\| \leq \cos \theta$ （因 $\|x\| \geq \theta$ ）。区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 长度为 $2\theta$ ，必包含点 $y = a + \theta$ 或 $y = a - \theta$ ，此时 $\cos y = \cos(a \pm \theta)$ 。若 $a \pm \theta \equiv \pm \theta \mod 2\pi$ ，则 $\cos y = \cos \theta$ ；否则，区间内必存在点 $y$ 使得 $|y| \geq \theta$ ，从而 $\cos y \leq \cos \theta$ 。因此存在性得证。 （3）求 $b$ 的最小值使得存在 $\phi$ 满足 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立： 函数可写为 $5\cos x - \cos(5x - \theta)$ （ $\theta = -\phi$ ）。当 $\cos x = 1$ 且 $\cos(5x - \theta) = -1$ 时，函数取得最大值 $5 \times 1 - (-1) = 6$ 。由于无法使最大值小于$6$（否则与余弦函数极值矛盾），故 $b$ 的最小值为$6$。

扣分点：第二、三问的解题思路完全是错误的。

Kimi k1.5：2分 （1）求函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值： 首先计算端点处的函数值： - 当 $x = 0$ 时，$f(0) = 4$； - 当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3\sqrt{2} \approx 4.2426$。 接下来求导找到临界点： - $f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x$； - 令 $f'(x) = 0$，解得 $\sin 5x = \sin x$，得到临界点 $x = \frac{\pi}{6}$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 内。 计算 $x = \frac{\pi}{6}$ 处的函数值： - $f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 3\sqrt{3} \approx 5.196$。 验证二阶导数 $f''(x) = -5\cos x + 25\cos 5x$ 在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处小于零，确认为极大值。 最大值为 $3\sqrt{3}$。 （2）证明存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$： 假设对于所有 $y \in [a - \theta, a + \theta]$，$\cos y > \cos \theta$，则区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 必须完全包含在某个区间 $(2k\pi - \theta, 2k\pi + \theta)$ 内。此时 $a = 2k\pi$，区间变为 $[2k\pi - \theta, 2k\pi + \theta]$，端点处 $y = 2k\pi \pm \theta$ 满足 $\cos y = \cos \theta$，与假设矛盾。因此存在 $y$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$。 （3）求 $b$ 的最小值使得存在 $\phi$ 使得 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对所有 $x$ 恒成立： 将表达式展开为 $5\cos x - \cos 5x \cos \phi + \sin 5x \sin \phi$。通过分析不同 $\phi$ 的情况，发现当 $\phi = 0$ 时，表达式为 $5\cos x - \cos 5x$，其最大值在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处取得 $3\sqrt{3}$。验证其他 $\phi$ 值发现最大值均不小于 $3\sqrt{3}$，因此 $b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$。

扣分点：第三问没有枚举所有可能的$\phi$，不具有说服力。

DeepSeek R1：3分 (1) 求函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值 函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在闭区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上连续，因此最大值出现在端点或临界点处。计算导数： $$ f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x = 5(\sin 5x - \sin x) $$ 令 $f'(x) = 0$，得： $$ \sin 5x = \sin x $$ 解为： - $5x = x + 2k\pi$ 或 $5x = \pi - x + 2k\pi$，即： - $x = \frac{k\pi}{2}$（情况 1） - $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$（情况 2） 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 内，考虑 $k$ 的取值： - 情况 1：$x = 0$（当 $k = 0$） - 情况 2：$x = \frac{\pi}{6}$（当 $k = 0$） 端点：$x = 0$ 和 $x = \frac{\pi}{4}$。计算函数值： - $f(0) = 5\cos 0 - \cos 0 = 5 \cdot 1 - 1 = 4$ - $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$ - $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.242$ 比较得：$f(0) = 4$，$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} \approx 5.196$，$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2} \approx 4.242$。最大值在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处，为 $3\sqrt{3}$. 验证：$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236 \in [0, 0.7854]$，且在区间内。 #### (2) 证明：给定 $\theta \in (0, \pi)$ 和 $a \in \mathbb{R}$，存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 使得 $\cos y \leq \cos \theta$ 考虑区间 $I = [a - \theta, a + \theta]$，长度为 $2\theta < 2\pi$（因为 $\theta < \pi$）。函数 $\cos y$ 在 $I$ 上连续，故存在最小值。 - 若 $I$ 包含某个 $k\pi$（$k$ 为整数），则： - 当 $k$ 为奇数时，$\cos(k\pi) = -1 \leq \cos \theta$（因为 $\cos \theta > -1$）。 - 当 $k$ 为偶数时，最小值可能在端点处，但需进一步分析。 - 若 $I$ 不包含任何 $k\pi$，则 $\sin y \neq 0$ 在 $I$ 内，故 $\cos y$ 在 $I$ 上严格单调（因为导数 $-\sin y$ 不恒为零）。此时最小值出现在端点之一： - $\min_{y \in I} \cos y = \min \{ \cos(a - \theta), \cos(a + \theta) \}$ 需证 $\min \{ \cos(a - \theta), \cos(a + \theta) \} \leq \cos \theta$。假设不成立，即 $\cos(a - \theta) > \cos \theta$ 且 $\cos(a + \theta) > \cos \theta$。考虑函数周期性，可设 $a \in [0, 2\pi)$. - 若 $I \subseteq [0, \pi]$，则 $\cos y$ 递减，最小值在右端点：$\cos(a + \theta)$。由于 $a \geq 0$，有 $a + \theta \geq \theta$，且 $a + \theta \leq \pi$，故 $\cos(a + \theta) \leq \cos \theta$。 - 若 $I \subseteq [\pi, 2\pi]$，则 $\cos y$ 递增，最小值在左端点：$\cos(a - \theta)$。由于 $a - \theta \geq \pi > \theta$（因为 $\theta < \pi$），且 $a - \theta \leq 2\pi$，但具体值需分析。例如，当 $a - \theta$ 接近 $2\pi$ 时，$\cos(a - \theta) = \cos(\epsilon + \theta)$（$\epsilon > 0$），有 $\cos(\epsilon + \theta) < \cos \theta$（因余弦在 $[0, \pi]$ 递减）。 综上，总有 $\min_{y \in I} \cos y \leq \cos \theta$，故存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ 满足 $\cos y \leq \cos \theta$. #### (3) 设 $b \in \mathbb{R}$，若存在 $\phi \in \mathbb{R}$ 使得 $5\cos x - \cos(5x + \phi) \leq b$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，求 $b$ 的最小值 定义 $g_\phi(x) = 5\cos x - \cos(5x + \phi)$。需求 $\min_{\phi} \max_{x} g_\phi(x)$. 求导： $$ g_\phi'(x) = -5\sin x + 5\sin(5x + \phi) $$ 令导数为零： $$ \sin(5x + \phi) = \sin x $$ 解为： - $5x + \phi = x + 2k\pi$ 或 $5x + \phi = \pi - x + 2k\pi$，即： - $x = -\frac{\phi}{4} + \frac{k\pi}{2}$（情况 1） - $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\phi}{6} + \frac{k\pi}{3}$（情况 2） 在临界点处： - 情况 1：$g_\phi(x) = 4\cos x$ - 情况 2：$g_\phi(x) = 6\cos x$ 考虑情况 2 的点：$y_k = \frac{\pi(1 + 2k) - \phi}{6}$。点间距为 $\frac{\pi}{3}$，对应角度序列公差为 $\frac{\pi}{3}$。设 $z_k = \gamma + k \frac{\pi}{3}$（其中 $\gamma = -\frac{\phi}{6} + \frac{\pi}{6}$），则 $g_\phi(y_k) = 6 \cos z_k$. 序列 $\cos z_k$ 的周期为 6（因 $6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$）。最小化该序列的最大值： - 当 $\gamma = 30^\circ$ 或 $90^\circ$ 时，$\max_k \cos z_k = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\max_k g_\phi(y_k) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. - 其他 $\gamma$ 值下，最大值不小于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 因此： $$ \max_x g_\phi(x) \geq \max_k g_\phi(y_k) \geq 3\sqrt{3} $$ 当 $\phi = 0$ 时，在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处 $g_0\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3}$，且其他点值小于 $3\sqrt{3}$，故 $\max_x g_0(x) = 3\sqrt{3}$. 综上，$b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$.

扣分点：完成了解答，尽管解题步骤的思考量较大。

（3）总结

考虑到这道题的解答过程可以通过分类讨论来建立，而这本就是计算机更擅长的思维方式（一系列if-else）；所以在测评前笔者对模型的解答满怀信心。遗憾的是，从目前的测试结果来看，国产大模型的逻辑推理能力还有待提高。这些模型的解答有两个比较有趣的现象：

（4）后日谈

笔者在网络上看到了第三问的一种解法，该方法结合了前两问的结论，可谓非常漂亮，或者至少符合出题人的本意，也代表着大模型至今无法触及到的人类智慧之光；在此一并分享：

  1. 求函数 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值；
  2. 给定 $\theta \in (0, \pi)$ 和 $a \in R$，证明：存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$ ，使得 $\cos y \leq \cos \theta$ ；
  3. 设$b \in R$，若存在 $\phi \in R$ 使得 $5\cos x - \cos (5x + \phi) \leq b$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $b$ 的最小值.

一方面，根据①的结论，当$\phi=0$时$b \geq 3\sqrt{3}$（即$b$可取$3\sqrt{3}$）。

另一方面，当$\phi\neq0$时，下面证明总存在$x$使得$5\cos x - \cos (5x + \phi) \geq 3\sqrt{3}$（即$b$取值不可能小于$3\sqrt{3}$）。

不妨取$x\in [-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$，则有：

因此，$5\cos x - \cos (5x + \phi) \geq \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。

综上所述，$b$的最小值为$3\sqrt{3}$。