Unleash your imagination! Light circling the Earth.
在近日播出的特摄剧《亚刻奥特曼》大结局中，亚刻奥特曼双手交叉放出“亚刻最终升华光线”击中了暗黑宇宙战士苏伊德。伴随着强大的后坐力，亚刻奥特曼的光线绕了地球足足一圈，从而为制敌创造了机会。
但是在笔者生活的地球上，光在同种均匀介质中沿直线传播，而地球是球形的，光线直线传播时会因地球曲率而偏离地面；那么该如何帮助亚刻奥特曼放出制敌的必杀技呢？要实现光线绕地球一圈，需要构建一个光线沿弯曲路径传播的物理模型。
方法1. 创造一个引力透镜
广义相对论中的引力透镜效应指出，时空在大质量天体附近会发生畸变，使得光线经过大质量天体附近时发生弯曲。在极端情况下，例如黑洞周围的光子轨道中，光线可以被弯曲成一个闭合的轨道，形成“光子球”或“光子环”。
光子球（Photon Sphere）指在黑洞（或任何足够致密的球对称天体）周围的一个球形区域，在该区域中，光可以沿闭合轨道绕黑洞运行。
考虑一个非旋转、不带电的黑洞（史瓦西黑洞），其时空由史瓦西度规描述：
\[ds^2 = -\left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2\]其中$G$ 是引力常数，$M$ 是黑洞质量，$c$ 是光速，$r$ 是径向坐标，$d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2$ 是球面角元。
由于史瓦西时空的球对称性，可以设光子运动在赤道平面（$\theta = \pi/2$）。光子的运动方程由以下两个守恒量决定：
- 能量守恒：$E = \left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right) \frac{dt}{d\lambda}$
- 角动量守恒：$L = r^2 \frac{d\phi}{d\lambda}$
其中 $\lambda$ 是仿射参数。
光子的运动由零测地线方程描述（$ds^2 = 0$）。将守恒量代入零测地线方程 $ds^2 = 0$，得到径向运动方程：
\[\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = \frac{E^2}{c^2} - \frac{L^2}{c^2r^2} \left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right)\]定义有效势 $V_{\text{eff}}(r)$：
\[V_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{r^2} \left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right)\]对于圆形轨道（光子球），需满足径向力平衡 $\frac{dr}{d\lambda} = 0$，且轨道稳定或临界 $\frac{dV_{\text{eff}}(r)}{d\lambda} = 0$。
对 $V_{\text{eff}}(r)$ 求导并令导数为零：
\[\frac{dV_{\text{eff}}}{dr} = -\frac{2L^2}{r^3} \left(c^2 - \frac{2GM}{r}\right) + \frac{L^2}{r^2} \cdot \frac{2GM}{r^2} = 0\]化简解得光子球半径：
\[r_{\text{ph}} = \frac{3GM}{c^2}\]注意到黑洞的史瓦西半径（事件视界半径）为：
\[r_s = \frac{2GM}{c^2}\]因此，光子球半径与史瓦西半径的关系为：
\[r_{\text{ph}} = \frac{3}{2} r_s\]光子球半径是光子在黑洞周围能够沿闭合圆形轨道运行的最小半径。若将地球质量（$M_\oplus \approx 5.97 \times 10^{24} \text{kg}$）代入：
\[r_{\text{ph}} \approx 1.33 \times 10^{-3} \text{m}\]这远小于地球半径（$R_\oplus \approx 6371 \text{km}$）。因此为了让地球成为黑洞光子球，亚刻奥特曼需要将其质量增加到现在的约5亿倍；这即使对于奥特曼也是一个不小的挑战。
方法2. 创造一个人工波导
另一方面，注意到光的直线传播是在同种介质下遵循的。地球大气中的气体分子会折射光线，使光线略微弯曲。如果奥特曼可以人为地控制大气的折射率，使其足以使光线弯曲并绕地球一圈。为实现这个目标，需要在地球表面附近构建一个高折射率的波导层，使光线在其中全反射传播。
在球对称介质中，光线的轨迹由折射率分布 $n(r)$ 决定，其中 $r$ 是距地心的距离。根据费马原理，光线的路径满足：
\[\frac{d}{ds} \left( n \frac{d\vec{r}}{ds} \right) = \nabla n\]在球对称介质中，角动量守恒导致：
\[n(r) \cdot r \cdot \sin \theta = \text{常数}\]其中 $\theta$ 是光线与径向的夹角。对于光线绕地球一圈，我们需要光线始终与地球表面保持固定距离 $h$（即 $r = R + h$），且轨迹为圆形。要使光线沿半径为 $R + h$ 的圆形轨道运动，光线的曲率必须与地球的曲率匹配。光线的曲率 $\kappa$ 可以表示为：
\[\kappa = \frac{1}{r} = \frac{1}{R + h}\]在介质中，光线的曲率与折射率梯度有关：
\[\kappa = -\frac{1}{n} \frac{dn}{dr}\]因此：
\[\frac{dn}{n} = -\frac{dr}{r}\]这是一个微分方程，可以解出 $n(r)$：
\[\ln n = -\ln r + C \quad \to \quad n(r) = n_0 \frac{R}{r}\]其中 $n_0$ 是地面（$r = R$）的折射率。因此折射率需要随高度增加而减小，折射率梯度近似为：
\[\frac{dn}{dr} = -\frac{n_0R}{r^2}\]实际大气中，折射率随高度减小，但梯度远小于此。例如，标准大气中：
\[n \approx 1 + 300 \times 10^{-6} \cdot e^{-h/H}\]其中 $H \approx 8 \text{ km}$，梯度：
\[\frac{dn}{dr} \approx -\frac{300 \times 10^{-6}}{8 \text{ km}} \approx -3.75 \times 10^{-8} \text{ m}^{-1}\]而所需梯度：
\[\left| \frac{dn}{dr} \right| = \frac{n_0}{R} \approx \frac{1}{6.37 \times 10^6} \approx 1.57 \times 10^{-7} \text{ m}^{-1}\]比实际大一个数量级。看来亚刻奥特曼还需要费很大一番功夫才行。
3. 后记
值得一提的是，《亚刻奥特曼》的核心主题是“释放想象力”，而arc本意也有弧的意思。这道划破天际的光线之弧，不仅连接了战斗的起点与终点，更象征着人类对宇宙法则的永恒探索——从牛顿的苹果到爱因斯坦的时空弯曲，从引力透镜到人工波导，我们不断用想象力描绘着看似不可能的技术。
或许，终有一天，科学会让奥特曼的光线绕地球一圈成为现实；但在此之前，正是这份天马行空的勇气，让人类在浩瀚星海中，始终保持着向未知跃迁的弧光。
