立方体电阻的等效问题

The Equivalent Problem of Cube Resistance.

大多数朋友们都听说过“电阻”这一元件。电阻作为构成电路的基本元件在生活中必不可少。在电路分析中为了简化问题，对于许多电阻串并联组成的复杂无源网络，我们总希望将其在端口等效成一个电阻。

我在学习电路分析时，曾遇到过一个立方体电阻的等效问题：

如下图所示的3维立方体，每条边都是$1Ω$的电阻，问立方体对角线两个端点a、b之间的等效电阻是多少？

第一次考虑这种问题会非常棘手，但是图中的电阻标有不同的颜色，这是一个非常有趣的提示。事实上这个立方体电路具有高度的对称性，这也是解决问题的出发点：假设电流I从a流入，从b流出，由对称性流进黄色电阻的三个电流应该相等，都为I/3。因此cde三点应该是等电势点。所谓等电势点可以将其连接起来而不会扰乱原来的系统。

从这种思路出发，我们可以得到所有的等势点集合：\(\{cde\}, \{fgh\}\)；用线将等势点连接顺便改画电路图如下：

即连接等势点之后，电路可以分成几组相同电路的并联，且组与组之间是串联。根据简单的电阻串并联知识，可以很容易的得到这个网络的等效电阻是：

这道题目到这里就算解决了，但是题目带给我们的乐趣远不止此；我们不妨把问题抽象成一般形式：对于一个n维立方体，仍假设该立方体每条边上都有$1Ω$的电阻，可不可以求得其对角线的等效电阻呢？

为了进一步解决这个问题，找出其中的规律性，我们先做一个超酷的事：来想象一个4维的立方体。

我们从最简单的考虑：一个1维的立方体就是简单的一个电阻，它的总电阻就是它本身。

2维的立方体是一个正方形，四条边分别有四个电阻，对于一条对角线，其每一个端点分出2个电阻，或许我们可以这样理解：2维立方体可以看做1维立方体在第二个维度上用1维立方体并联取代；通俗的理解，是将两个1维立方体“并联”起来，这里的并联是指把两个立方体的的每个顶点用一条边连接，故2维立方体共有1+1+2=4条边（1维立方体边数+1维立方体边数+1维立方体顶点数），按照等势点的思想考虑，其总电阻是：

3维的立方体正如问题开始时所描述的，对于一条对角线，其每一个端点分出3个电阻，同样的，如果我们将两个2维立方体并联，将它们的每个顶点用一条边连接，便可以得到3维立方体。

那么4维的立方体会是什么样子呢？理论上它应该具有12+12+8=32条边，每4个边汇聚成1个顶点，如果我们画出两个3维的立方体，并将其顶点连接，便可以构思出所谓的4维立方体了：

那么这种立方体的等效电阻如何计算呢？

取其中的一条对角线ab（为什么ab是对角线的两端点？请读者思考），我们注意到有四条线是从任意一个顶点分出，且他们的端点是等势点；对角线的另一端也是一样。从一个等势面到另一个等势面的最短路径为通过剩下24个电阻中的任意两个电阻；这意味着24个电阻的内点也是等势点，即两组12个电阻是并联的，两个组是串联连接的。所以等效电阻计算为：

下面让我们寻找这个问题的规律性。在用等势点的思想解决立方体等效电阻时，我们首先将电路等效成若干个模块的串联，每个模块中则是若干个电阻的并联。如果我们考虑等效电阻计算时各分数相加的分母，前四维立方体电阻的等效参数如下：

细心的读者可能看出其中的规律，如果每一排除以排数n的话，刚好得到的数列呈如下形式：

这便是著名的杨辉三角形，也叫帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）。该三角形中第$n$排的数是$(a+b)^n$二项式展开的系数。按此规律，对于一个$n$维立方体，设每边的体电阻为$1Ω$，则该立方体对角线等效电阻为：

其中$R_n$表示$n$维立方体的对角线等效电阻，$C$是组合数。