Sampling Distribution.
抽样分布
抽样分布(Sampling Distribution)是指统计量的分布。
本文目录：
- $\chi^2$分布
- $t$分布
- $F$分布
- 抽样分布的重要定理
1. $\chi^2$分布
设一组样本$X_1,X_2,…,X_k$独立同分布于$N(0,1)$，记$X = \sum_{i=1}^{k} {X_i^2}$，则$X$服从自由度为$k$的$\chi^2$分布，记为$X$ ~ $\chi^2_k$。
其概率密度函数为：
\[f_k(x)= \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}Γ(\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, & x > 0 \\ 0, & x ≤ 0 \end{cases}\]
$\chi^2$分布的性质：
- $E(X) = k$
- $Var(X) = 2k$
- 设\(X_1\) ~ \(\chi^2_{k_1}\)，$X_2$ ~ \(\chi^2_{k_2}\)，且$X_1$和$X_2$独立，则$X_1+X_2$ ~ $\chi^2_{k_1+k_2}$
2. $t$分布
$t$分布是英国统计学家W.S.Gosset在1908年以笔名Student发表的论文中提出的。
设随机变量$X$ ~ $N(0,1)$，$Y$ ~ $\chi^2_v$，且$X$和$Y$独立；记$T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{v}}}$，则$T$服从自由度为$v$的$t$分布，记为$T$ ~ $t_v$。
其概率密度函数为：
\[p(x) = \frac{Γ(\frac{v+1}{2})}{Γ(\frac{v}{2})\sqrt{v\pi}} (1+\frac{x^2}{v})^{-\frac{v+1}{2}}\]
$t$分布的性质：
- $E(T) = 0, \quad v ≥ 2$
- $Var(T) = \frac{v}{v-2}, \quad v ≥ 3$
- 当$v$趋向于$∞$时，$t$分布趋向于标准正态分布$N(0,1)$。
3. $F$分布
设随机变量$X$ ~ \(\chi^2_{d_1}\)，$Y$ ~ \(\chi^2_{d_2}\)，且$X$和$Y$独立；记$F = \frac {\frac{X} {d_1}} {\frac{Y} {d_2}}$，则$F$服从自由度分别为$d_1$和$d_2$的$F$分布，记为$F$ ~ \(F_{d_1,d_2}\)。
其概率密度函数为：
\[f_{d_1,d_2}(x)= \begin{cases} \frac{Γ(\frac{d_1+d_2}{2})}{Γ(\frac{d_1}{2})Γ(\frac{d_2}{2})} d_1^{\frac{d_1}{2}} d_2^{\frac{d_2}{2}} x^{\frac{d_1}{2}-1} (d_2+d_1x)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}, & x > 0 \\ 0, & x ≤ 0 \end{cases}\]
$F$分布的性质：
- $E(F) = \frac{d_1}{d_2-2}, \quad d_2 ≥ 3$
- $Var(F) = \frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}, \quad d_2 ≥ 5$
- 若$F$ ~ \(F_{m,n}\)，则$\frac{1}{F}$ ~ \(F_{n,m}\)
- 若$T$ ~ \(t_n\)，则$T^2$ ~ \(F_{1,n}\)
- $F_{m,n}(1-α) = \frac{1}{F_{n,m}(α)}$
4. 抽样分布的重要定理
定理1：单正态分布总体，方差已知
设一组样本$X_1,X_2,…,X_n$独立同分布于正态分布$N(μ,σ^2)$，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差，则有：
- \(\overline{X}\) ~ \(N(μ,\frac{σ^2}{n})\)；
- \((n-1) \frac{S^2}{σ^2}\) ~ \(\chi^2_{n-1}\)；
- $\overline{X}$和$S^2$独立。
定理2：单正态分布总体，方差未知
设一组样本$X_1,X_2,…,X_n$独立同分布于正态分布$N(μ,σ^2)$，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差，若记：
\[T = \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-μ)}{S}\]则$T$~ $t_{n-1}$。
定理3：双正态分布总体，均值差
设一组样本$X_1,X_2,…,X_m$独立同分布于正态分布$N(μ_1,σ_1^2)$，另一组样本$Y_1,Y_2,…,Y_n$独立同分布于正态分布$N(μ_2,σ_2^2)$，
假定\(σ_1^2=σ_2^2=σ^2\)，样本$X_1,X_2,…,X_m$与$Y_1,Y_2,…,Y_n$独立，记：
\[T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y})-(μ_1-μ_2)}{S_w} \sqrt{\frac{mn}{n+m}}\]其中\((n+m-2)S_w^2 = (m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2\),
则$T$~ $t_{n+m-2}$。
定理4：双正态分布总体，方差比
设一组样本$X_1,X_2,…,X_m$独立同分布于正态分布$N(μ_1,σ_1^2)$，另一组样本$Y_1,Y_2,…,Y_n$独立同分布于正态分布$N(μ_2,σ_2^2)$，样本$X_1,X_2,…,X_m$与$Y_1,Y_2,…,Y_n$独立，记：
\[F = \frac{\frac{S_1^2}{σ_1^2}}{\frac{S_2^2}{σ_2^2}}\]则$F$~ $F_{m-1,n-1}$。
定理5：指数分布总体
设一组样本$X_1,X_2,…,X_n$独立同分布于指数分布\(f(x,λ)=λe^{-λx}I_{[x>0]}\)，
则\(2λn\overline{X}\) ~ \(\chi^2_{2n}\)。
