“飞蛾扑火”问题研究

Study of the ‘Moth to Flame’ Problem.

我的童年是在奶奶家的院子里，那时并没有像现在一样丰富的网络资源，用来消遣时间的方法只有耐心地观察着这世界。我曾经不止一次地观察到每当夜晚降临，屋檐下的白炽灯总是会吸引大量的飞蛾，它们看似随意又散漫地围绕着这颗“小太阳”飞行，少数的可怜者甚至会以生命为代价扑向光源。长大以后，我也逐渐了解到“飞蛾扑火”这个成语，飞蛾不顾一切地扑到火上，人们习惯用来比喻自取灭亡。那么究竟是什么力量引导着飞蛾的这种行为？

事实上，亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。

这其实是一道运动学问题，是对夜间飞行的飞蛾运动轨迹的建模。当有灯光或者火光对飞蛾产生影响时，天真的蛾子会向追随月光那样飞行，造成了飞蛾扑火的现象。

下面我们在极坐标中描述飞蛾的运动轨迹。假设飞蛾的运动方向与其位置和中心点之间的连线总保持$α$的夹角，设飞蛾运动速度为$v$，在某一时刻受中心点的影响从A点飞到B点，与中心点的距离（极径）为$r$，与坐标极轴的夹角（极角）为$φ$。当飞蛾运动一小段距离，转过一个小角度$dφ$时，与中心点的距离减小$dr$。

由于转角很小，我们引入了一些近似：线段OA与OB长度近似相等；弧端AB近似为线段AB；过B作OA的垂线BC，BC长度近似为弧段长度$rdφ$。

在上述描述中，由几何关系可以得到：

该微分方程的通解为：

这个方程就是所谓的对数螺旋方程，表明半径$r$会在转过无限的角度后趋近于零。也就是说，一个质点经过有限长的时间，走过有限的距离后会到达中心，但要转无穷多圈。对于灯和飞蛾，它们都有一定的大小，迟早会相撞。

飞蛾的习性并没有因为人类社会的发展而改变，在它们眼中，水泥道路两旁的灯光就像那月光，指引着飞蛾向前。本应追随月光的飞蛾却被路途的灯光吸引，沿着螺旋线扑向那灯光，在有限的时间内最终撞向那灯光，带着飞蛾的尊严，扑向盛大的死亡。